Fufho: febrero 2011

Integral de Lebesgue

En matematica, la integración de una función no negativa, en el caso más simple, puede ser mirada como el área bajo la gráfica de una curva y el eje x. La Integral de Lebesgue es una construcción matemática que extiende el concepto de integración a una clase mucho más amplia de funciones, así como extiende los posibles dominios en las cuales estas integrales pueden ser definidas. Hace mucho que se sabe que para funciones no negativas con una curva suficientemente suave (como una función continua en intervalos cerrados) el área bajo la curva podía ser definida como la integral y calculada usando técnicas de aproximación de la región a través de rectángulos o polígonos. De todas maneras, como se necesitaba considerar funciones más irregulares (por ejemplo, como resultado de los limitados procesos del Cálculo o de la Teoría de Probabilidades), se hizo evidente que una aproximación más cuidadosa era necesaria para definir una integral que se ajustara a dichos problemas.
La integral de Lebesgue tiene un importante rol en el Análisis Real, y en muchas otras ramas de la Matemática. Su nombre es en honor a su creador, Henri Lebesgue (1875-1941).

La integral de una función no negativa puede ser interpretada como el área bajo la curva.

Construcción de la integral de Lebesgue

La discusión que sigue expone la definición más común de esta integral, en la que la teoría de integración se compone de dos partes, a saber:

Una teoría de conjuntos medibles y medidas en estos conjuntos.
Una teoría de funciones medibles e integrales en estas funciones.

Teoría de la medida

Inicialmente la teoría de la medida fue creada para disponer de un análisis detallado de la noción de longitud de los subconjuntos de puntos de la recta real, de forma más general, área y volumen de subconjuntos de espacios euclideos. En especial, esta teoría nos brinda una respuesta sistemática a la pregunta: ¿a cuales subconjuntos de R se les puede asociar una longitud?. Como se comprobó al desarrollar la teoría de conjuntos, realmente es imposible asociar una longitud a cualquier subconjunto de R de tal manera que se cumplan algunas propiedades de invariancia por traslación y aditividad de conjuntos (conjuntos no medibles).
Naturalmente, la integral de Riemann usa implícitamente el concepto de longitud. Un elemento básico de este tipo de integral son los rectángulos de base [a, b]x[c, d] cuya longitud es (b - a) y su área es (b-a)·(d-c).
En el desarrollo de la teoría los libros más modernos (posteriores a 1950) usan el método axiomático para definir la medida, es decir, que una medida es una función μ definida sobre ciertos subconjuntos de un conjunto E que satisface una lista de propiedades.

Integración de Lebesgue

Consideremos μ una medida no negativa sobre σ-álgebra X de subconjuntos de E. Por ejemplo, E puede ser un espacio euclídeo n dimensional Rⁿ o algún subconjunto medible de él, X puede ser el σ-álgebra de todos los subconjuntos medibles de E, y μ puede ser la medida de Lebesgue. En la teoría de la probabilidad μ puede ser una función de probabilidad sobre un espacio de probabilidad E.
En la teoría de Lebesgue, el cálculo de integrales se restringe a un tipo de funciones llamadas funciones medibles. Una función es medible si la preimagen de cualquier intervalo cerrado pertenece a X, es decir, es un conjunto medible:

$f^{-1}([a,b]) \in X \mbox{ para todo }a<b.$

El conjunto de funciones medibles es cerrado bajo operaciones algebraicas, aunque más importante es el hecho de que esta clase también es cerrada al tomar límites de sucesiones de funciones:

$\liminf_{k \in \mathbb{N}} f_k, \quad \limsup_{k \in \mathbb{N}} f_k$

es medible si las funciones que forman los términos de la sucesión {f_k}, k $\in$ N, son también medibles.
Vamos a construir la integral de Lebesgue : $\int_E f d \mu \quad$ para funciones reales medibles f construidas sobre E en varias etapas calculando las integrales de funciones sencillas:
Función característica o indicadora: Dado un subconjunto S medible contenido en E, la función característica 1_S toma valor 1 para los elementos pertenecientes a S y 0 para el resto.

$\mathbf{1}_S(x) = \left\{\begin{matrix} 1 &\mbox{si}\ x \in S \\ 0 &\mbox{si}\ x \notin S \end{matrix}\right.$

La integral de esta función ha de ser la medida del conjunto S.

$\int 1_S d \mu = \mu (S)$

Función simple: Una función simple es de la forma $\phi = \sum_k a_k 1_{S_k}$ , donde a_k son números reales y la suma es finita.
A partir del caso anterior más sencillo se puede asumir que el resultado de integrar una función simple sea:

$\int \phi d \mu = \int \bigg(\sum_k a_k 1_{S_k}\bigg) d \mu = \sum_k a_k \int 1_{S_k}d \mu = \sum_k a_k \mu (S_k)$

A pesar de que una función simple se pueda expresar como distintas sumas, el resultado de la integral no varía.
Función no negativa: Sea f una función no negativa medible sobre E. Se define

$\int_E f\,d\mu = \sup\left\{\,\int_E \phi \,d\mu : \phi \le f,\ \phi \ \mbox{simple}\,\right\}$

Funciones con signo: Una función con signo definida sobre E se puede escribir como suma de dos funciones no negativas:

$f = f^+ - f^-, \quad$

donde

$f^+(x) = \left\{\begin{matrix} f(x) & \mbox{si} \quad f(x) > 0 \\ 0 & \mbox{en otro caso} \end{matrix}\right.$

$f^-(x) = \left\{\begin{matrix} -f(x) & \mbox{si} \quad f(x) < 0 \\ 0 & \mbox{en otro caso} \end{matrix}\right.$

Si ambas integrales verifican

$\int f^+ d \mu < \infty, \quad \int f^- d \mu < \infty,$

entonces se puede definir la integral de Lebesgue de f (x) de la siguiente manera

$\int f d \mu = \int f^+ d \mu - \int f^- d \mu$

Si dos funciones f y g son iguales en todas partes de su dominio salvo en un conjunto de medida nula y si f es integrable Lebesgue, entonces g es integrable Lebesgue y la integral de Lebesgue de ambas funciones será idéntica.

Si $\mu(\{x \in E: f(x) \neq g(x)\}) = 0$ entonces $\int f \, d \mu = \int g \, d \mu$

Linealidad: Si f y g son funciones integrables Lebesgue y a y b son números reales fijos, entonces

$\int (af + bg) \, d \mu = a \int f \, d\mu + b \int g \, d\mu$

Monotonía: Si f y g son funciones integrables Lesbesgue y f < g, entonces

$\int f \, d \mu \leq \int g \, d \mu.$

Propiedades básicas de la integral de Lebesgue

Integracion

La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

La integral definida de una función representa el área limitada por la gráfica de la función, con signo positivo cuando la función toma valores positivos y negativo cuando toma valores negativos.

Teoria

Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral

$\int_a^b f(x)\,dx$

es igual al área de la región del plano xy limitada entre la gráfica de f, el eje x, y las líneas verticales x = a y x = b, donde son negativas las áreas por debajo del eje x.

La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función F, cuya derivada es la función dada f. En este caso se denomina integral indefinida,

mientras que las integrales tratadas en este artículo son las integrales definidas. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas.

Newton y Leibniz a finales del siglo XVII. A través del teorema fundamental del cálculo, que desarrollaron los dos de forma independiente, la integración se conecta con la derivación, y la integral definida de una función se puede calcular fácilmente una vez se conoce una antiderivada. Las integrales y las derivadas pasaron a ser herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniería.

Bernhard Riemann dio una definición rigurosa de la integral. Se basa en un límite que aproxima el área de una región curvilínea a base de partirla en pequeños trozos verticales. A comienzos del siglo XIX, empezaron a aparecer nociones más sofisticadas de la integral, donde se han generalizado los tipos de las funciones y los dominios sobre los cuales se hace la integración. La integral curvilínea se define para funciones de dos o tres variables, y el intervalo de integración [a,b] se sustituye por una cierta curva que conecta dos puntos del plano o del espacio. En una integral de superficie, la curva se sustituye por un trozo de una superficie en el espacio tridimensional.

Las integrales de las formas diferenciales desempeñan un papel fundamental en la geometría diferencial moderna. Estas generalizaciones de la integral surgieron primero a partir de las necesidades de la física, y tienen un papel importante en la formulación de muchas leyes físicas cómo, por ejemplo, las del electromagnetismo. Los conceptos modernos de integración se basan en la teoría matemática abstracta conocida como integral de Lebesgue, que fue desarrollada por Henri Lebesgue.

Terminología y notación

Si una función tiene una integral, se dice que es integrable. De la función de la cual se calcula la integral se dice que es el integrando. Se denomina dominio de integración a la región sobre la cual se integra la función. Si la integral no tiene un dominio de integración, se considera indefinida (la que tiene dominio se considera definida). En general, el integrando puede ser una función de más de una variable, y el dominio de integración puede ser un área, un volumen, una región de dimensión superior, o incluso un espacio abstracto que no tiene estructura geométrica en ningún sentido usual.

El caso más sencillo, la integral de una función real f de una variable real x sobre el intervalo [a, b], se escribe

$\int_a^b f(x)\,dx .$

El signo ∫, una "S" alargada, representa la integración; a y b son el límite inferior y el límite superior de la integración y definen el dominio de integración; f es el integrando, que se tiene que evaluar al variar x sobre el intervalo [a,b]; y dx puede tener diferentes interpretaciones dependiendo de la teoría que se emplee. Por ejemplo, puede verse simplemente como una indicación de que x es la variable de integración, como una representación de los pasos en la suma de Riemann, una medida (en la integración de Lebesgue y sus extensiones), un infinitesimal (en amalizis estandar) o como una cantidad matemática independiente: una forma diferencial. Los casos más complicados pueden variar la notación ligeramente.

Sumas de Reimann

En matemáticas, la suma de Riemann es un método para aproximar el área total bajo la gráfica de una curva. Estas sumas toman su nombre del matemático aleman Bernhard Riemann.

Cuatro de los métodos de suma de Riemann para aproximar el área bajo las curvas. Los métodos derecha e izquierda hacen la aproximación usando, respectivamente, los puntos finales derechos e izquierdos de cada subintervalo. Los métodos máximo y mínimo hacen la aproximación usando, respectivamente, los valores más grandes y más pequeños del punto final de cada subintervalo. Los valores de las sumas convergen a medida que los subintervalos parten desde arriba a la izquierda hasta abajo a la derecha.

Definicion:

Consideremos lo siguiente:

· una función

donde D es un subconjunto de los números reales

· I = [a, b] un intervalo cerrado contenido en D.

· Un conjunto finito de puntos {x₀, x₁, x₂, ... x_n} tales que a = x₀ < x₁ < x₂ ... < x_n = b

crean una partición de I

P = {[x₀, x₁), [x₁, x₂), ... [x_n_-1, x_n]}

Si P es una partición con n elementos de I, entonces la suma de Riemann de f sobre I con la partición P se define como

donde x_i_-1 ≤ y_i ≤ x_i. La elección de y_i en este intervalo es arbitraria.

Si y_i = x_i_-1 para todo i, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la izquierda.

Si y_i = x_i, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la derecha.

Promediando las sumas izquierda y derecha de Riemann obtenemos la llamada suma trapezoidal.

lunes, 7 de febrero de 2011

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Teoría de la medida

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Integracion

Sumas de Reimann