Fufho: Integral de Lebesgue

En matematica, la integración de una función no negativa, en el caso más simple, puede ser mirada como el área bajo la gráfica de una curva y el eje x. La Integral de Lebesgue es una construcción matemática que extiende el concepto de integración a una clase mucho más amplia de funciones, así como extiende los posibles dominios en las cuales estas integrales pueden ser definidas. Hace mucho que se sabe que para funciones no negativas con una curva suficientemente suave (como una función continua en intervalos cerrados) el área bajo la curva podía ser definida como la integral y calculada usando técnicas de aproximación de la región a través de rectángulos o polígonos. De todas maneras, como se necesitaba considerar funciones más irregulares (por ejemplo, como resultado de los limitados procesos del Cálculo o de la Teoría de Probabilidades), se hizo evidente que una aproximación más cuidadosa era necesaria para definir una integral que se ajustara a dichos problemas.
La integral de Lebesgue tiene un importante rol en el Análisis Real, y en muchas otras ramas de la Matemática. Su nombre es en honor a su creador, Henri Lebesgue (1875-1941).

La integral de una función no negativa puede ser interpretada como el área bajo la curva.

Construcción de la integral de Lebesgue

La discusión que sigue expone la definición más común de esta integral, en la que la teoría de integración se compone de dos partes, a saber:

Una teoría de conjuntos medibles y medidas en estos conjuntos.
Una teoría de funciones medibles e integrales en estas funciones.

Teoría de la medida

Inicialmente la teoría de la medida fue creada para disponer de un análisis detallado de la noción de longitud de los subconjuntos de puntos de la recta real, de forma más general, área y volumen de subconjuntos de espacios euclideos. En especial, esta teoría nos brinda una respuesta sistemática a la pregunta: ¿a cuales subconjuntos de R se les puede asociar una longitud?. Como se comprobó al desarrollar la teoría de conjuntos, realmente es imposible asociar una longitud a cualquier subconjunto de R de tal manera que se cumplan algunas propiedades de invariancia por traslación y aditividad de conjuntos (conjuntos no medibles).
Naturalmente, la integral de Riemann usa implícitamente el concepto de longitud. Un elemento básico de este tipo de integral son los rectángulos de base [a, b]x[c, d] cuya longitud es (b - a) y su área es (b-a)·(d-c).
En el desarrollo de la teoría los libros más modernos (posteriores a 1950) usan el método axiomático para definir la medida, es decir, que una medida es una función μ definida sobre ciertos subconjuntos de un conjunto E que satisface una lista de propiedades.

Integración de Lebesgue

Consideremos μ una medida no negativa sobre σ-álgebra X de subconjuntos de E. Por ejemplo, E puede ser un espacio euclídeo n dimensional Rⁿ o algún subconjunto medible de él, X puede ser el σ-álgebra de todos los subconjuntos medibles de E, y μ puede ser la medida de Lebesgue. En la teoría de la probabilidad μ puede ser una función de probabilidad sobre un espacio de probabilidad E.
En la teoría de Lebesgue, el cálculo de integrales se restringe a un tipo de funciones llamadas funciones medibles. Una función es medible si la preimagen de cualquier intervalo cerrado pertenece a X, es decir, es un conjunto medible:

$f^{-1}([a,b]) \in X \mbox{ para todo }a<b.$

El conjunto de funciones medibles es cerrado bajo operaciones algebraicas, aunque más importante es el hecho de que esta clase también es cerrada al tomar límites de sucesiones de funciones:

$\liminf_{k \in \mathbb{N}} f_k, \quad \limsup_{k \in \mathbb{N}} f_k$

es medible si las funciones que forman los términos de la sucesión {f_k}, k $\in$ N, son también medibles.
Vamos a construir la integral de Lebesgue : $\int_E f d \mu \quad$ para funciones reales medibles f construidas sobre E en varias etapas calculando las integrales de funciones sencillas:
Función característica o indicadora: Dado un subconjunto S medible contenido en E, la función característica 1_S toma valor 1 para los elementos pertenecientes a S y 0 para el resto.

$\mathbf{1}_S(x) = \left\{\begin{matrix} 1 &\mbox{si}\ x \in S \\ 0 &\mbox{si}\ x \notin S \end{matrix}\right.$

La integral de esta función ha de ser la medida del conjunto S.

$\int 1_S d \mu = \mu (S)$

Función simple: Una función simple es de la forma $\phi = \sum_k a_k 1_{S_k}$ , donde a_k son números reales y la suma es finita.
A partir del caso anterior más sencillo se puede asumir que el resultado de integrar una función simple sea:

$\int \phi d \mu = \int \bigg(\sum_k a_k 1_{S_k}\bigg) d \mu = \sum_k a_k \int 1_{S_k}d \mu = \sum_k a_k \mu (S_k)$

A pesar de que una función simple se pueda expresar como distintas sumas, el resultado de la integral no varía.
Función no negativa: Sea f una función no negativa medible sobre E. Se define

$\int_E f\,d\mu = \sup\left\{\,\int_E \phi \,d\mu : \phi \le f,\ \phi \ \mbox{simple}\,\right\}$

Funciones con signo: Una función con signo definida sobre E se puede escribir como suma de dos funciones no negativas:

$f = f^+ - f^-, \quad$

donde

$f^+(x) = \left\{\begin{matrix} f(x) & \mbox{si} \quad f(x) > 0 \\ 0 & \mbox{en otro caso} \end{matrix}\right.$

$f^-(x) = \left\{\begin{matrix} -f(x) & \mbox{si} \quad f(x) < 0 \\ 0 & \mbox{en otro caso} \end{matrix}\right.$

Si ambas integrales verifican

$\int f^+ d \mu < \infty, \quad \int f^- d \mu < \infty,$

entonces se puede definir la integral de Lebesgue de f (x) de la siguiente manera

$\int f d \mu = \int f^+ d \mu - \int f^- d \mu$

Si dos funciones f y g son iguales en todas partes de su dominio salvo en un conjunto de medida nula y si f es integrable Lebesgue, entonces g es integrable Lebesgue y la integral de Lebesgue de ambas funciones será idéntica.