Fufho: 2011

martes, 24 de mayo de 2011

CALCULO DE INTEGRALES DE FUNCIONES EXPRESADAS COMO SERIE DE TAYLOR

Este teorema permite aproximar una función derivable en el entorno reducido alrededor de un punto a: E (a, d)

mediante un polinomio cuyos coeficientes dependen de las derivadas de la función en ese punto. Más

formalmente, si $\ n$ ≥ 0 es un entero y $\ f$ una función que es derivable $\ n$ veces en el intervalo cerrado

[ $\ a$ , $\ x$ ] y $\ n$ +1 veces en el intervalo abierto ( $\ a$ , $\ x$ ), entonces se cumple que:¹

$f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + R_n(f)$ O en forma compacta

(1b) $f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k + R_n(f)$

Donde $\ k!$ denota el factorial de $\ k$ , y $R_n(f)\,$ es el resto, término que depende de $\ x$ y es pequeño si $\ x$ está próximo al punto $\ a$ . Existen dos expresiones para $\ R$ que se mencionan a continuación:

(2a) $R_n(f) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1}$

donde $\ a$ y $\ x$ , pertenecen a los números reales, $\ n$ a los enteros y $\ \xi$ es un número real entre $\ a$ y $\ x$ :²

) $R_n(f) = \int_a^x \frac{f^{(n+1)} (t)}{n!} (x - t)^n \, dt$

Si $R_n(f)\,$ es expresado de la primera forma, se lo denomina Término complementario de Lagrange, dado que el Teorema de Taylor se expone como una generalización del Teorema del valor medio o Teorema de Lagrange, mientras que la segunda expresión de R muestra al teorema como una generalización del Teorema fundamental del cálculo integral.

Para algunas funciones $\ f(x)$ , se puede probar que el resto, $\ R_n(f)$ , se aproxima a cero cuando $\ n$ se acerca al ∞; dichas funciones pueden ser expresadas como series de Taylor en un entorno reducido alrededor de un punto $\ a$ y son denominadas funciones analíticas.

El teorema de Taylor con $\ R_n(f)$ expresado de la segunda forma es también válido si la función $\ f$ tiene números complejos o valores vectoriales. Además existe una variación del teorema de Taylor para funciones con múltiples variables.

El teorema de Taylor anterior (1) puede generalizarse al caso de varias variables como se explica a continuación. Sea B una bola en R^N centrada en el punto a, y f una función real definida sobre laclausura $\bar{B}$ cuyas derivadas parciales de orden n+1 son todas continuas en cada punto de la bola. El teorema de Taylor establece que para cualquier $x\in B$ :

$f(x)=\sum_{|\alpha|=0}^n\frac{1}{\alpha!}\frac{\partial^\alpha f(a)}{\partial x^\alpha}(x-a)^\alpha+\sum_{|\alpha|=n+1}R_{\alpha}(x)(x-a)^\alpha$

Donde la suma se extiende sobre los multi-índices α (esta fórmula usa la notación multi-índice). El resto satisface la desigualdad:

$|R_{\alpha}(x)|\le\sup_{y\in\bar{B} }\left|\frac{1}{\alpha!}\frac{\partial^\alpha f(y)}{\partial x^\alpha}\right|$

para todo α con |α|=n+1. Tal como sucede en el caso de una variable, el resto puede expresarse explícitamente en términos de derivadas superiores (véase la demostración para los detalles).

Para demostrar el teorema de Taylor para el caso multidimensional, considérese un función $f: \mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ o campo escalar, que suponemos continuo y, para simplificar lo expuesto (aunque una generalización es trivial), de clase $C^{\infty}$ . Sea

r (t)

una función vectorial que va de $\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{n}$ , y definamosla cómo $r(t)=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{u}t)$ (de ahora en adelante,vse omitirán las flechas de los vectores).Pongamos

r (t) = y

Ahora hagamos

g (t) = f [r (t)]

y recordemos que $g^{\prime}(t)=\nabla f(y)r^{\prime}(t)$ . Notemos ahora que:

$g^{''}(t)=u_{1}[D_{11}f(y)u_{1}+..+D_{1n}f(y)u_{n}]+....+u_{n}[D_{n1}f(y)u_{1}+..+D_{nn}f(y)u_{n}]=\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}\dfrac{\partial^{2}f(y)}{\partial x_{j}\partial x_{i}}u_{j}u_{i}$

Ahora, derivando sucesivas veces, encontramos que podemos poner de forma muy cómoda:

$g^{n}(t)=(\nabla f(y)u)^{n}$

donde el exponente sobre el gradiente es entendido cómo las sucesivas veces que hacemos el gradiente; es decir,hacemos el producto escalar que está dentro del paréntesis,luego volvemos a derivar otra vez la función, obteniendo otro producto escalar, y así "n" veces. Ahora, empleando el teorema de Taylor para una variable real, expandimos

g (t)

en su serie de McLaurin: $g(t)=g(0)+g^{'}(0)t+\dfrac{g^{''}(0)}{2!}t^{2}...=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{g^{k}(0)}{k!}t^{k}$ y haciendo t=1 y sustituyendo las derivadas por las expresiones antes hallada se evidencia que: $f(a+u)=f(a)+\nabla f(a)u+\dfrac{(\nabla f(a)u)^{2}}{2!}+...=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{(\nabla f(a)u)^{n}}{k!}$ Obsérvese que el primer término aparece el gradiente y en el segundo la matriz hessiana, pero escrito con esta notación particular que resulta más cómodo y compacto. La expresión obtenida es equivalente a la expresada más arriba mediante la notación multiíndice

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES MEDIANTE LA SERIE DE TAYLOR

A continuación se enumeran algunas series de Taylor de funciones básicas. Todos los desarrollos son también válidos para valores complejos de x.

Función exponencial y logaritmo natural

$e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad, \forall x; n \in \mathbb{N}_0$

$\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n+1}}n x^n\quad\mbox{, para } \left| x \right| < 1$

Serie geométrica

$\frac{1}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} x^n\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1$

Teorema del binomio

$(1+x)^\alpha = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{\Gamma(\alpha+1)}{\Gamma(n+1)\Gamma(n-\alpha)} x^n\quad$ para $\left| x \right| < 1\quad$

y cualquier $\alpha\quad$ complejo

[editar]Funciones trigonométricas

$\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad, \forall x$

$\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad, \forall x$

$\tan x = \sum^{\infin}_{n=20} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad, \mbox{ para } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}$

Donde B_s son los Números de Bernoulli.

$\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{, para } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}$

$\csc{x}=\sum_{n=1}^\infty{\frac{2(2^{2n-1}-1)B_{n}x^{2n-1}}{(2n)!}}\quad\mbox{, para } 0<\left |{x}\right |< \pi$

$\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{, para } \left| x \right| < 1$

$\arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{, para } \left| x \right| < 1$

Funciones hiperbólicas

$\sinh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad , \forall x$

$\cosh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}\quad , \forall x$

$\tanh x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad\mbox{, para } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}$

$\sinh^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{, para } \left| x \right| < 1$

$\tanh^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{, para } \left| x \right| < 1$

Función W de Lambert

$W_0(x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n\quad\mbox{, para } \left| x \right| < \frac{1}{e}$

Los números B_k que aparecen en los desarrollos de tan(x) y tanh(x) son Números de Bernoulli. Los valores C(α,n) del desarrollo del binomio son los coeficientes binomiales. Los E_k del desarrollo de sec(x) son Números de Euler.

Varias variables

La serie de Taylor se puede generalizar a funciones de

d

variables:

$\sum_{n_1=0}^{\infin} \cdots \sum_{n_d=0}^{\infin} \frac{\partial^{n_1}}{\partial x_1^{n_1}} \cdots \frac{\partial^{n_d}}{\partial x_d^{n_d}} \frac{f(a_1,\cdots,a_d)}{n_1!\cdots n_d!} (x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d} =$

$\sum_{n=0}^{\infty} {1 \over n!} \sum_{n_1+\cdots+n_d=n} {n \choose n_1 \cdots n_d} {\partial^n f(a_1,\cdots,a_d) \over \partial x_1^{n_1} \cdots \partial x_d^{n_d}} (x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d},$

donde ${n \choose n_1 \cdots n_d}$ es un coeficiente multinomial. Como ejemplo, para una función de 2 variables, x e y, la serie de Taylor de segundo orden en un entorno del punto (a, b) es:

$f(x,y) \,$

$\approx f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b) \,$

$+ \frac{1}{2}\left( f_{xx}(a,b)(x-a)^2 + 2f_{xy}(a,b)(x-a)(y-b) + f_{yy}(a,b)(y-b)^2 \right).$

Un polinomio de Taylor de segundo grado puede ser escrito de manera compacta así:

$T(\mathbf{x}) = f(\mathbf{a}) + \nabla f(\mathbf{a})^T (\mathbf{x} - \mathbf{a}) + \frac{1}{2} (\mathbf{x} - \mathbf{a})^T \nabla^2 f(\mathbf{a}) (\mathbf{x} - \mathbf{a}) + \cdots$

donde $\nabla f(\mathbf{a})$ es el gradiente y $\nabla^2 f(\mathbf{a})$ es la matriz hessiana. Otra forma:

$T(\mathbf{x}) = \sum_{|\alpha| \ge 0}^{}{\frac{\mathrm{D}^{\alpha}f(\mathbf{a})}{\alpha !}(\mathbf{x}-\mathbf{a})^{\alpha}}$

Aplicaciones

Además de la obvia aplicación de utilizar funciones polinómicas en lugar de funciones de mayor complejidad para analizar el comportamiento local de una función, las series de Taylor tienen muchas otras aplicaciones.

Algunas de ellas son: análisis de límites y estudios paramétricos de los mismos, estimación de números irracionales acotando su error, teorema de L'Hopital para la resolución de límites indeterminados, estudio de puntos estacionarios en funciones (máximos o mínimos relativos o puntos sillas de tendencia estrictamente creciente o decreciente), estimación de integrales, determinación de convergencia y suma de algunas series importantes, esdio de orden y parámetro principal de infinitésimos, etc.