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Series infinitas de términos positivos
Un tipo de series infinitas que constan de términos positivos y negativos es el de las series alternantes, cuyos términos son, alternadamente, positivos y negativos.
Definición de serie alternante
Si para todos los números enteros positivos n, entonces la serie
y la serie
se denominan series alternantes.
Ejemplo:
Un ejemplo de serie alternante de la forma de la primera ecuación , donde el primer termino es positivo, es
una serie alternante de la segunda ecuación, donde el primer termino es negativo, es
el teorema siguiente, denominado criterio de las series alternantes, establece que una serie alternante es convergente si los valores absolutos de sus términos decrecen y el limite del n-ésimo término es cero. El criterio también se conoce como el criterio de leibniz para series alternantes debido a que leibniz lo formuló en 1705.
series infinitas de términos positivos y negativos
series de potencias

Son series de la forma S an (x - x0)n ; loss números reales a0, a1, .... , an, ... son los coeficientes de la serie. Si x0 = 0 se obtiene la serie S an . xn.

Como toda serie S an (x - x0)n puede llevarse a la forma S an .x¢ n haciendo x¢ = x - x0 ; solo estudiaremos series de potencias de este último tipo.

Se presentan tres situaciones posibles: series que convergen solamente para x = 0; series que convergen para cualquier número real x y series que convergen para algunos valores de x y divergen para otros. Esto conduce al siguiente:

teorema:

Si la serie de potencias S an .xn converge para el valor x0 ¹ 0, entonces converge en valor absoluto para cualquier x / ô xô < ô x0ô .

Demostración:

Si S an .x0n < ¥ , entonces

Tomando x = 1 $ n0 Î N / " n ³ n0 : ô an x0n - 0ô = ô an x0nô < 1

Luego:

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

ô an xnô =

Si x es tal que ô xô < ô x0ô Þ

Para ver la fórmula seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Luego " n ³ n0 : ô an xnô < qn y la serie S ô an xnô converge por comparación con la serie geométrica S qn. Por lo tanto S an xn converge absolutamente.

teorema:

Si una serie de potencias S an xn no converge para x0 entonces tampoco converge para un número x si ô xô > ô x0ô.

INFINITA

Es una expresión matemática de la forma f(x + b) − f(x +a). Si una diferencia finita se divide por b − a se obtiene una expresión similar al cociente diferencial, que difiere en que se emplean cantidades finitas en lugar de infinitesimales. La aproximación de las derivadas por diferencias finitas desempeña un papel central en los métodos de diferencias finitas del análisis numérico para la resolución de ecuaciones diferenciales.

ólo se consideran normalmente tres formas: la anterior, la posterior y la central.

Una diferencia progresiva, adelantada o posterior es una expresión de la forma

$\Delta[f](x) = \frac{f(x + h) - f(x)}{h}. \,$

Dependiendo de la aplicación, el espaciado h se mantiene constante o se toma el limite h → 0.

Una diferencia regresiva, atrasada o anterior es de la forma

$\nabla[f](x) = \frac{f(x) - f(x-h)}{h}.$

Finalmente, la diferencia central es la media de las diferencias anteriores y posteriores. Viene dada por

$\delta[f](x) = \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}.$

La derivación de la función f en un punto x está definida por el límite

$f'(x) = \lim_{h\to0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}.$

Si h tiene un valor fijado no nulo, en lugar de aproximarse a cero, el término de la derecha se convierte en

$\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{\Delta[f](x)}{h}.$

Por lo tanto, la diferencia anterior dividida por h aproxima a la derivada cuando h es pequeño. El error de esta aproximación puede derivarse del teorema de Taylor. Asumiendo que f es continuamente diferenciable, el error es

$\frac{\Delta[f](x)}{h} - f'(x) = O(h) \quad (h \to 0).$

La misma fórmula es válida en la diferencia posterior:

$\frac{\nabla[f](x)}{h} - f'(x) = O(h).$

Sin embargo, la diferencia central lleva a una aproximación más ajustada. Su error es proporcional al cuadrado del espaciado (si f es dos veces continuamente diferenciable).

$\frac{\delta[f](x)}{2h} - f'(x) = O(h^{2}) . \!$

[editar]Cálculo de diferencias finitas

La diferencia anterior puede considerarse un operador diferencial que hace corresponder la función f con Δf. El teorema de Taylor puede expresarse por la fórmula

$\Delta = hD + \frac12 h^2D^2 + \frac1{3!} h^3D^3 + \cdots = \mathrm{e}^{hD} - 1,$

Donde D denota el operador derivada, que hace corresponder $f\,$ con su derivada $f\,'$ , es decir, $D = u'\,, D^2 = u''\,, D^3 = u'''\,,...$

Formalmente, invirtiendo la exponencial,

$hD = \log(1+\Delta) = \Delta - \frac12 \Delta^2 + \frac13 \Delta^3 + \cdots. \,$

Esta fórmula sigue siendo válida en el sentido de que ambos operadores dan el mismo resultado cuando se aplican a un polinomio. Incluso para funciones analíticas, las series de la derecha no convergen con seguridad, sino que puede tratarse de una serie asintótica. Sin embargo, pueden emplearse para obtener aproximaciones más precisas de la derivada. Por ejemplo, Los dos primeros términos de la serie llevan a:

$f'(x) \approx \frac{\Delta[f](x) - \frac12 \Delta^2[f](x)}{h} = - \frac{f(x+2h)-4f(x+h)+3f(x)}{2h}.$