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REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES MEDIANTE LA SERIE DE TAYLOR

A continuación se enumeran algunas series de Taylor de funciones básicas. Todos los desarrollos son también válidos para valores complejos de x.

Función exponencial y logaritmo natural

$e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad, \forall x; n \in \mathbb{N}_0$

$\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n+1}}n x^n\quad\mbox{, para } \left| x \right| < 1$

Serie geométrica

$\frac{1}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} x^n\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1$

Teorema del binomio

$(1+x)^\alpha = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{\Gamma(\alpha+1)}{\Gamma(n+1)\Gamma(n-\alpha)} x^n\quad$ para $\left| x \right| < 1\quad$

y cualquier $\alpha\quad$ complejo

[editar]Funciones trigonométricas

$\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad, \forall x$

$\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad, \forall x$

$\tan x = \sum^{\infin}_{n=20} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad, \mbox{ para } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}$

Donde B_s son los Números de Bernoulli.

$\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{, para } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}$

$\csc{x}=\sum_{n=1}^\infty{\frac{2(2^{2n-1}-1)B_{n}x^{2n-1}}{(2n)!}}\quad\mbox{, para } 0<\left |{x}\right |< \pi$

$\arcsin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{, para } \left| x \right| < 1$

$\arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{, para } \left| x \right| < 1$

Funciones hiperbólicas

$\sinh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad , \forall x$

$\cosh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}\quad , \forall x$

$\tanh x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad\mbox{, para } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}$

$\sinh^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{, para } \left| x \right| < 1$

$\tanh^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{, para } \left| x \right| < 1$

Función W de Lambert

$W_0(x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n\quad\mbox{, para } \left| x \right| < \frac{1}{e}$

Los números B_k que aparecen en los desarrollos de tan(x) y tanh(x) son Números de Bernoulli. Los valores C(α,n) del desarrollo del binomio son los coeficientes binomiales. Los E_k del desarrollo de sec(x) son Números de Euler.

Varias variables

La serie de Taylor se puede generalizar a funciones de

d

variables:

$\sum_{n_1=0}^{\infin} \cdots \sum_{n_d=0}^{\infin} \frac{\partial^{n_1}}{\partial x_1^{n_1}} \cdots \frac{\partial^{n_d}}{\partial x_d^{n_d}} \frac{f(a_1,\cdots,a_d)}{n_1!\cdots n_d!} (x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d} =$

$\sum_{n=0}^{\infty} {1 \over n!} \sum_{n_1+\cdots+n_d=n} {n \choose n_1 \cdots n_d} {\partial^n f(a_1,\cdots,a_d) \over \partial x_1^{n_1} \cdots \partial x_d^{n_d}} (x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d},$

donde ${n \choose n_1 \cdots n_d}$ es un coeficiente multinomial. Como ejemplo, para una función de 2 variables, x e y, la serie de Taylor de segundo orden en un entorno del punto (a, b) es:

$f(x,y) \,$

$\approx f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b) \,$

$+ \frac{1}{2}\left( f_{xx}(a,b)(x-a)^2 + 2f_{xy}(a,b)(x-a)(y-b) + f_{yy}(a,b)(y-b)^2 \right).$

Un polinomio de Taylor de segundo grado puede ser escrito de manera compacta así:

$T(\mathbf{x}) = f(\mathbf{a}) + \nabla f(\mathbf{a})^T (\mathbf{x} - \mathbf{a}) + \frac{1}{2} (\mathbf{x} - \mathbf{a})^T \nabla^2 f(\mathbf{a}) (\mathbf{x} - \mathbf{a}) + \cdots$

donde $\nabla f(\mathbf{a})$ es el gradiente y $\nabla^2 f(\mathbf{a})$ es la matriz hessiana. Otra forma:

$T(\mathbf{x}) = \sum_{|\alpha| \ge 0}^{}{\frac{\mathrm{D}^{\alpha}f(\mathbf{a})}{\alpha !}(\mathbf{x}-\mathbf{a})^{\alpha}}$

Aplicaciones

Además de la obvia aplicación de utilizar funciones polinómicas en lugar de funciones de mayor complejidad para analizar el comportamiento local de una función, las series de Taylor tienen muchas otras aplicaciones.

Algunas de ellas son: análisis de límites y estudios paramétricos de los mismos, estimación de números irracionales acotando su error, teorema de L'Hopital para la resolución de límites indeterminados, estudio de puntos estacionarios en funciones (máximos o mínimos relativos o puntos sillas de tendencia estrictamente creciente o decreciente), estimación de integrales, determinación de convergencia y suma de algunas series importantes, esdio de orden y parámetro principal de infinitésimos, etc.