Fufho: SERIES

Introducción

Una serie aritmética es la suma de una sucesión de términos. Por ejemplo, una serie interesante que aparece en muchos problemas en ciencia, ingeniería, y matemática es la serie geométrica

r + r 2 + r 3 + r 4 + ...

donde

...

indica que la serie continúa indefinidamente.

Una manera común de estudiar una serie particular (siguiendo a Cauchy) es definir una secuencia que consiste en la suma de los primeros

n

términos.

Por ejemplo, para estudiar la serie geométrica podemos considerar la secuencia que suma los primeros

n

términos:

$S_n(r) = \sum_{i=1}^{n} r^i.$

Por lo general, estudiando la secuencia de sumas parciales podemos entender el comportamiento de la serie infinita entera.

Dos de las cuestiones más importantes sobre una serie son

Converge?
Si es así, a dónde?

Por ejemplo, es fácil ver que para

r > 1

, la serie geométrica

S n (r)

no converge a un número finito (es decir, diverge a infinito). Para ver esto, notemos que cada vez que aumentamos el número de términos en la serie

S n (r)

aumenta. Quizás un hecho más sorprendente e interesante es que para

| r | < 1

S n (r)

converge a un valor finito.

Específicamente, es posible demostrar que

$\lim_{n \rightarrow \infty} S_n(r) = \frac{r}{1-r}.$

De hecho, consideremos la cantidad:

$(1-r)S_n(r) = (1-r)\sum_{i=1}^{n} r^n = \sum_{i=1}^{n} r^n - \sum_{i=2}^{n+1} r^n = r - r^{n+1}$

Puesto que $r^{n+1}\to 0$ cuando $n\to \infty$ para

| r | < 1

, esto demuestra que $(1-r)S_n(r)\to r$ cuando $n\to \infty$ . La cantidad

1 - r

es diferente a cero y no depende de

n

así que podemos dividir por ella y llegar a la fórmula que deseamos.

Nos gustaría poder obtener conclusiones similares sobre cualquier serie.

Desafortunadamente, no hay un modo simple de sumar una serie. Lo más que podremos hacer en la mayoría de los casos es determinar si converge. Las series geométricas y telescópicas son los únicos tipos de series en las cuales se puede encontrar fácilmente la suma.

DEFINICIÓN DE UNA SERIE

Una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos

a n

como $\sum_{i=1}^n a_i$ donde n es el índice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir, $i = 1,2,3,\ldots$ .

Las series convergen o divergen. En cálculo, una serie diverge si $\lim_{n\to \infty} \, \, \sum_{i=1}^n a_i$ no existe o si tiende a infinito; puede converger si $\lim_{n\to \infty} \, \, \sum_{i=1}^n a_i = L$ para algún $L \in \mathbb{R}$ .

VÍDEOS

Fufho

lunes, 23 de mayo de 2011

SERIES

Introducción

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