SERIE DE POTENCIAS

Apartir de series de potencias se pueden obtener otras series de potencias mediante la diferenciación e integración.

Se establecerán los dos teoremas fundamentales.

Teorema

Si es una serie de potencias cuyo radio de convergencia es

R > 0, entonces tambien tiene a R como su radio de convergencia.

Este teorema, cuya demostración se presenta en el suplemento de esta sección. Establece que la serie, obtenida al diferenciar cada término de una serie de potencias término a término, tendrá el mismo radio de convergencia que la serie dada. En el ejemplo ilustrativo siguiente se verifica el teorema para una serie de potencias particular.

Ejemplo:

Considere la serie de potencias.

el radio de convergencia se determina aplicando el critero de la razón.

en consecuencia, la serie de potencias es convergente cuando ; de modo que su radio de convergencia es R = 1.

Continua….

La serie que se obtiene al diferenciar término a término la serie anterior es :

si se aplica el criterio de la razón a esta serie de potencias se tiene

esta serie es convergente cuando < 1, así, su radio de convergencia es R´ = 1. como R = R´, se ha verificado este teorema para esta serie.

Teorema

Si el radio de convergencia de la serie de potencias es R > 0 entonces R tambien es el radio de convergencia de la serie:

Demostración

El resultado deseado se deduce cuando el teorema primero se aplica a la serie 

Se llama serie potencial a una serie funcional de la forma a0+a1x+a2x2+...+anxn+....
En toda serie entera existe un cierto valor tal que la serie converge para todo x existente para un cierto valor. , para calcular este intervalo se utilizan los criterios de Dalembert o del cociente, Cauchy o de la raíz

Desarrollo en serie de Taylor

Desarrollo en serie de Mc Laurin : Es igual que Tailor pero con x = 0

Resto de Lagrange un polinomio de Taylor de grado n :

Serie Binómica

 rango convergencia
[-1,1]

Operaciones con series de potenciasDado f(x) = å an xn   y g(x) = å bn xn
f(k·z) = å an kn zn                                                          f(xp) = å an knp
f(x) ± g(x) = å (an ± bn) xn                                        f(x) · g(x) = (å an xn ) (å  bn xn)
Estas operaciones pueden cambiar el intervalo de convergencia.
Si es una suma el intervalo es la unión de los intervalos.
                 0 < x < 2
            0 < x £ 2
                                                            -00 < x < 00
                                              -00 < x < 00
                                                -00 < x < 00
                                      -1 £ x £1
           -1 £ x £1
   -1 £ x £1

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