CALCULO DE VOLUMENES DE SOLIDOS  DE REVOLUCION

Al tratar de hallar el volumen de un solido, encaramos el mismo tipo de problemas que al buscar areas. Tenemos una idea intuitiva de lo que significa volumen, pero debemos afinarla aplicando el calculo para dar una definicion exacta de volumen.

Calculo de volumenes de s´olidos con los metodos de rebanadas, discos y anillos .

1. Encuentre el volumen del solido S descrito. a) Un cono circular recto con altura h y radio r de la base b) Una piramide con altura h y base rectangular con dimensiones b y 2b. c) Un tetraedro con 3 caras mutuamente perpendiculares y tres aristas mutuamente perpendiculares con longitudes de 3 cm, 4 cm y 5 cm . d) La base de S es una region elıptica con la curva frontera9x2+4y2 = 36. Las secciones transversales perpendiculares al eje x son triangulos rect´angulo isosceles con la hipotenusa en la base. 2. La base de S es un disco circular con radio r. Las secciones transversales paralelas, perpendiculares a la base, son triangulos isosceles con altura h y lado desigual en la base.

a) Establezca una integral para obtener el volumen de S. b) Interprete la integral como un area y encuentre el volumen de S.

Fórmula del volumen por discos Por tanto, recordando la definición de integral definida de Riemann se obtiene que: V = ∫ π ( f ( x) ) dx si se toma el eje de revolución verticalmente, se obtiene una fórmula similar: V = ∫ π ( f ( y ) ) dy Antes de comenzar a esbozar diversos ejemplos de estos métodos, estableceremos algunas pautas que les ayudarán a resolver problemas sobre sólidos de revolución.

COMO HALLAR VÓLUMENES POR EL MÉTODO DEL DISCO (O
ARANDELA)
1. Dibujar la región y trazar sobre esta un segmento que sea PERPENDICULAR al eje de rotación. La región al hacerla girar alrededor del eje de rotación generará una sección transversal típica en forma de disco o arandela dependiendo el caso. 2. Hallar: para el caso del disco el radio principal y para el caso de la arandela los radios interno y externo. 3. Establecer los límites de integración. 4. Por último integrar para hallar el volumen deseado. EJEMPLO 1: La región entre la curva y = x , 0 ≤ x ≤ 25 y el eje x se gira alrededor del eje x para generar un sólido. Hallar su volumen. SOLUCION: 1. TRAZO DE LA REGIÓN Y DE LA SECCIÓN TÍPICA. Abajo se muestra la región R pedida: Ayudados por la sugerencia anterior Región que rota alrededor del eje x 2. EXTRACCIÓN DEL RADIO PRINCIPAL: Es claro que el método a utilizar es el método de los discos. Luego, la distancia del segmento r (radio principal) es f, es decir: r= x. 3. LIMITES DE INTEGRACIÓN: Estos límites nos lo fueron dados en el enunciado del ejemplo: 0 ≤ x ≤ 25 . 4. FORMULACION DE LA INTEGRAL: Aplicando la expresión correspondiente para volúmenes usando el método del disco tenemos:

∫ π r 2 dx V= 25 ∫ π ( x ) 2 dx = 25 ∫π =x dx 625π = 2 . Por tanto el volumen del sólido es 625 π = u3 .