lunes, 23 de mayo de 2011

SERIE NUMÉRICA Y CONVERGENCIA, PRUEBA DE LA RAZÓN (CRITERIO DE DÁLEMBERT) Y PRUEBA DE LA RAÍZ (CRITERIO DE CAUCHY)

Convergencia

Es obvio que para que una serie converja, los an deben tender a cero, pero esto no es suficiente. Consideremos la serie armónica, la suma de 1/n, y agrupemos los términos
\begin{matrix} \sum_1^{2^m} \frac{1}{n} &= 1+ \frac{1}{2}+ & \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+ & +\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+ & \ldots & + \sum_{1+2^{n-1}}^{2^n} \frac{1}{p} \\ & > \frac{3}{2}+ & \frac{1}{4}2+ & \frac{1}{8}4+ & \ldots & + \frac{1}{2^n}2^{n-1} \\ & = \frac{3}{2}+ & \frac{1}{2} + & \frac{1}{2} + & \ldots & + \frac{1}{2} \quad (m \mbox{ terms}) \end{matrix}
Cuando m tiende a infinito, también lo hace la suma final, por lo tanto la serie diverge.
Podemos también deducir algo sobre cuán rápidamente diverge. Usando el mismo agrupamiento de términos, podemos obtener un límite superior de la suma de los primeros términos, las sumas parciales.
1+\frac{m}{2} < \sum_1^{2^m} \frac{1}{n} <1+m
o
1+\frac{\ln_2 m}{m}< \sum_1^m \frac{1}{n} < 1+ \ln_2 m
y las sumas parciales aumentan como log m, muy lentamente.
Notemos que para descubrir esto, comparamos los términos de la serie armónica con una serie que sabíamos divergente.
Esto es una prueba de convergencia (también conocida como prueba directa de comparación) que podemos aplicar a cualquier par de series.
  • Si bn converge y |an|≤|bn| entonces an converge.
  • Si bn diverge y |an|≥|bn| entonces an diverge.
Existen muchas de tales pruebas, las más importantes de las cuales describiremos en este capítulo.

[eConvergencia absoluta

Teorema: Si la serie de valores absolutos, \sum_{n=1}^\infty \left| a_n \right|, converge, entonces también lo hace la serie \sum_{n=1}^\infty a_n
Decimos que tal serie es absolutamente convergente o que converge absolutamente.
El recíproco no es cierto. La serie 1-1/2+1/3-1/4... converge, aunque la serie de sus valores absolutos diverge.
Una serie como esta que converge, pero no absolutamente, se dice que es condicionalmente convergente o que converge condicionalmente.
Si una serie converge absolutamente, podemos sumar los términos en cualquier orden que queramos y el límite será siempre el mismo. Si converge una serie condicional, el cambio de los términos cambia el límite.
De hecho, podemos hacer que la serie converge a cualquier límite que deseemos eligiendo un cambio conveniente. P.ej., en la serie 1-1/2+1/3-1/4..., podemos sumar solamente términos positivos hasta que la suma parcial excede de 100, restamos el 1/2, sumamos solamente términos positivos hasta que la suma parcial excede de 100, restamos 1/4, etcétera, consiguiendo una secuencia con los mismos términos que converja a 100.
Esto hace que sea más fácil trabajar con una serie absolutamente convergente. Así, todas excepto una de las pruebas de convergencia en este capítulo serán para series cuyos términos sean todos positivos, que deben ser series absolutamente convergentes o divergentes. La otra serie será estudiada considerando la serie correspondiente de valores absolutos.
SUCESIONES
Diremos que {an} es convergente si lim an = L (finito)
n→ð
Si {an}y {bn}son convergentes tales que
lim an = L lim bn = M ; Entonces:
n→ð n→ð
{an} (ð,*,/){bn}= L(ð,*,/) M
Si lim ­|an| = 0 ð lim ­an= 0
n→ð n→ð
Dada {an} diremos que C ð R es una cota superior de {an} si C ≥ an; B ð R es una cota inferior si B ð an . Toda sucesión acotada, monótona (creciente o decreciente) y continua es convergente, ya que tiende a su cota.
SERIES NUMÉRICAS
Diremos que una serie ðan es convergente si lim ðan = L (finito)
ð n→ð
Series Geométricas (ðKrn-1; K,r ð R)
n=1
La serie geométrica converge si ­|r­|<1 y converge a
k
Sn= --------
1-r
Si ðan y ðbn son convergentes a A y B respectivamente entonces:
ðan ð ðbn= A ð ð
Si ðC*an ; C=cte. ð C*ðan = C*A
El carácter de convergencia de una serie no cambia si se le suprimen los n primeros términos.
Si dos series coinciden a partir de un término “n”, las dos tienen el mismo carácter.
Dada ðan convergente ð lim an = 0
n→ð
ð
ðððnp es convergente para p>1.
n=1
CRITERIO DE LA INTEGRAL
Sea yðð(x) una función continua, positiva y decreciente en [1, +ð) y tal que ð(n)= an entonces:
+ð +ð
ðð(x)dx y ðan tienen el mismo carácter.
1 n=1
CRITERIO DE COMPARACIÓN
ðan y
ðbn de términos positivos.
Si ðan ð ðbn ð si ðbn converge se tendrá que ðan converge. Y si ðan diverge entonces ðbn diverge.
COMPARACIÓN AL LÍMITE (para series de términos positivos)
Si ð lim an/bn = L (finito, positivo) anð L*bn
n→ð
Entonces si an converge bn converge y viceversa.
Si lim an/bn = 0 si bn converge an converge.
n→ð
Si lim an/bn = +ð si bn diverge an diverge.
n→ð
ð ð
SERIES ALTERNAS (ð(ðððn+1 an ó ð(ðððn an )
n=1 n=1
Criterio Para Series Alternas.
Si lim an =0 y { an } es decreciente, entonces la serie es convergente.
n→ð
CONVERGENCIA ABSOLUTA
Dada ðan de términos de cualquier signo.
ð­|an­| converge ð ðan es convergente y diremos que ðan converge absolutamente.
Si ð­|an­­| diverge y ­ðan converge, diremos que an converge condicionalmente.
CRITERIO DE LA RAZÓN
Si lim |an+1|/|an|= L; L<1 la serie converge absolutamente.
n→ð
Si L=1 no se puede concluir. Si L>1 la serie diverge.
CRITERIO DE LA RAÍZ
Si lim (|an|ðððn=L; L<1 la serie converge absolutamente.
n→ð
Si L=1 no se puede concluir; si L>1 la serie diverge.
ESTIMACIÓN DEL RESTO
Criterio de la Integral.
Resto(Rn)=S-Sn=an+1 + an+2+ an+3+...
+ð +ð
ðð(x)dx ð Rnð ðð(x)dx
n+1 n
Para Series Alternas
|Rn
|ð
|an+1
|<error
ð ð
SERIES DE POTENCIA (ðCn(x-a)n; serie de potencia centrada en a)
n=0
ð
ðxn =1/(1-x) ð |x|<1
n=0
ð
ðxn/n!= ex
n=0
Si una serie de potencia es convergente para x=x1 ð converge absolutamente para cualquier valor de x tal que |x|<|x1|.
Si una serie de potencia es divergente para x=x2 ð también es divergente para cualquier valor de x tal que |x|>|x2|.
SERIE DE TAYLOR
Cn=ðn(a)/n! De lo que se obtiene:
ð
ð(x)= ððn(a)(x-a)n/n!; si a=0 entonces se habla de serie de Mc. Laurin.
n=0
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